“将军饮马”变形记

作者:范建兵 刊名:中小学数学:初中版 上传者:刘晓光

【摘要】“将军饮马”问题是大家所熟知的“最短路径问题”经典模型;这类问题的解决既是数学知识与技巧的体现;也是思维与能力的融合;其本质是“两点之间;线段最短”这一基本事实;近年来“最值问题”已成为全国各地中考命题的重点和热点.近期笔者在学习中还发现了一些“最值”问题;它们与“将军饮马”外形相异;但本质相同;堪称“将军饮马”之变型;特整理与大家分享.

全文阅读

中小学数学 2020年1-2月中旬(初中) “将军饮马” 汇苏省款州学稱中学(215009) 范建兵 “将军饮马”问题是大家所熟知的“最短路径问 题”经典模型,这类问题的解决既是数学知识与技巧 的体现,也是思维与能力的融合,其本质是“两点之 间,线段最短”这一基本事实,近年来“最值问题”已成 为全国各地中考命题的重点和热点.近期笔者在学习 中还发现了一些“最值”问题,它们与“将军饮马”外形 相异,但本质相同,堪称“将军饮马”之变型,特整理与 大家分享. 类型1:“两定一动”型 例1如图1, 一只蚂蚁从圆柱形玻璃杯外表点>1 处出发,沿着杯壁经过玻璃杯杯口爬到玻璃杯内部点 B处觅食,已知圆柱的底面周长为18cm,圆柱的高12ctn, 点d到玻璃杯杯沿距离是3cm,点B到玻璃杯杯底距离 也是3cm,则蚂蚁从点4到点B所走过的最短路径长是 多少? v 图1 图2 思路分析:对于这类应用型问题,需要先审清题 目,理解所求"最短路径长”的真实意义.具体操作如 图2所示,先将圆柱的侧面沿点B所在的母线展开,假 设蚂蚁经过玻璃杯口点。处到达点B,则蚂蚁所走最 短路径为BD+D4,这就转化成“两定一动”的“将军饮 马”模型了.作点<4关于直线M/V的对称点C,连接BC, 交MN于点。,则 BD + DA = BD + DC^BC .^BEIPQ, 交PQ于点、E,由题意可知,BE = 9 cm, CE= 12 cm,则 BC= 15.所以蚂蚁觅食从点/1到点B所走过的最短路 径是15cm. 例2求代数式7o7 + J16+(8-x)2的最小值. 思路分析:这是一个代数类求值型最值问题,看 起来与“将军饮马”模型没有任何关联,但根据初中学 第96页 生的学习体系,要想通过代数法解决这一问题是行不 通的.因此我们另行思考,构造图形,通过数形结合的 方法将这个问题几何化.因此,我们可以将原题转化 为这样一个几何问题: 如图3,AB丄BD,垂足为点B, CD1BD,垂足为点 D,E为线段BD上一点,若 AB = 2 , CD = 4, BD = 8,求 AE+EC的最小值. 依据题意解析:设BE=x ,则ED = S-x ,由题意 得,AE=j4+d , CE= J16 + (8-x)2,所以代数式 奸7+J16+(8-讲的最小值其实就是4E+EC的最 小值.这是两定(点人、点C固定)一动(点E为定直线 BD上的动点)问题,转化成“将军饮马”的问题模型.如 图4可知,AE + EC = FE + ECNCF=1O,所以代数式 + x2 + J16 +(8 —x)2的最小值是10. 这两个例题都有代数问题情境,例1通过将圆柱 的侧面展开,化曲为直后构造“将军饮马”模型,例2通 过构造简单几何图示,运用数形结合的方式将原问题 转化为“将军饮马”模型,转化后都是典型的基础模 型,即"两定一动”型问题. 类型2: “两动一定”型 例3如图5, A ABC中, AB=AC ,AD1BC,交 BC 于点、D, 点E、点F分别是AD.AB1.的动 点,若 AB = 5 , BC = 6 ,求BE+EF 的最小值. 思路分析:本题是等腰三角 图5 中小学数学 形背景下的最值问题,在“BE+EF ”中共有三个点,其 中点E、点F是动点,而点B是定 点.由于直线AQ是等腰三角形 的对称轴,所以BE = CE.所以 "BE+EF”又转化为"CE+EF".而 定点C到直线4B上动点F的最 小距离长就是点C

参考文献

引证文献

问答

我要提问